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Mathématiques : les développements limités

Extraits du cours

[...] Pour tout réel α montrer que l’équation sin(x)+x-α=0 admet une et une seule solution réelle que l’on notera x(α). Montrer que la fonction α ax(α) admet un développement limité d’ordre 5 à l’origine, que l’on déterminera α + ln(n) n k k Pour quelles valeurs de α peut on affirmer que la suite n aun sera monotone à partir d’un certain rang ? 19. Soit α un paramètre réel. Pour tout entier n on pose un= k = n 20. [...]


[...] Mais pour x non nul on obtient f = + x n sin n n n Il est clair que f’ n’est pas continue en puisque la fonction cosinus n’admet pas de limite en + La fonction f’ ne peut donc être dérivable en 0. La dérivée seconde de f en 0 n’existe pas Développements usuels. On sait que toute étude locale en un réel x0 peut se ramener à une étude au voisinage de l’origine grâce au changement de variable x=x0+h. Déterminer un développement limité à l’ordre n de f en x0 reviendra donc par l’intermédiaire de ce même changement de variable, à trouver un développement limité d’ordre n en 0 pour la fonction h a f(x0+h). [...]


[...] Déterminer les valeurs des paramètres réels a et b de façon qu’au voisinage de 0 la 1 + ax fraction rationnelle approxime au mieux cos(x) (en un sens à bien préciser) 1 + bx 14. Effectuer une étude locale au voisinage de des fonctions définies par les formules : x3 x 1 + 1 x Arc tan( ) x x 15. Déterminer le développement limité d’ordre n quelconque au point 1 de la fonction f ln( définie par la formule f ( = x 16. [...]


[...] + n + x n ) 2 n n x e x = 1 + x + + . + + x n ) 2 3 x x 2 n sin( = x + . + n + o ( x 2 n ) 6 (2n + cos( = 1 x 2n + . + n + x 2 n ) 2 PRATIQUE DES DEVELOPPEMENTS. Conformément à ce qui a été dit plus haut, nous ne traiterons ici que des techniques portant sur des développements en 0. [...]


[...] Supposons que f admette deux développements limités d’ordre n en un même point x soit : avec P et Q polynômes de degré au plus n. Par différence on en déduit immédiatement qu’au voisinage de x0 : Si P-Q n’est pas identiquement nul, on sait alors que cette différence est équivalente en 0 à son terme de plus bas degré, soit un monôme du type ckX k avec k=valuation Il vient donc, au voisinage de x0 : ck(x-x0)k= , ce qui est impossible vu que k est inférieur à n. [...]