Les applications linéaires

Extraits

[...] Si on connaît de plus dim (Im f ) :Il sera aisé ( ) de trouver une base de Im ) : On peut aussi déterminer Im ) en prenant un vecteur ! de F (espace d' y arrivée) et en cherchant des conditions sur ! (et donc sur ces coordonnées) pour avoir ! 2 Im ) : y y On écrit alors: que doit véri er ! pour qu' existe ! 2 E tel que ! [...]

[...] Soit f 2 L (R2 ) dé ni par f (e1 ) = e1 + 2e2 et f (e2 ) = base canonique de R2 : On pose e01 = et e02 = e1 e1 + e2 où B = (e1 ; e2 ) est la e2 Exprimer la matrice de f dans la base B puis dans la base B0 : 6 IV. Compléments: rang d' matrice une Soit A une matrice carrée d' ordre On peut associer à A l' endomorphisme f de Rn tel que A = M atr ) B où B est la base canonique de Rn : Def : On appelle rang de la matrice le rang de l' endomorphisme On note rg = rg ) On sait que le rang de f est la dimension de Im ) et que Im ) est engendré par l' image d' une base. [...]

[...] s' u v écrit matricellement M U = V M est appelée matrice de f relativement aux bases canoniques de R3 et R2 : Exemple: Considérons l' application linéaire f : Rq: la matrice M s' obtient ici (ce sera exceptionnel) ligne par ligne: les coe¢ cients se lisent dans l' expression de 2. Représentation matricielle a. Représentation matricielle d' vecteur un Soit E un espace vectoriel de dim. n et B = (e1 ; e2 ; : : : ; en ) une base de0 A 1 vecteur tout x1 B x2 C C ! de E de coordonnées ; x ; : : : ; x ) dans la base on associe X = B x B . n . [...]

[...] dans la base x b. Matrice associée à une application linéaire dans des bases Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension nie tels que: B = (e1 ; e2 ; : : : ; ep ) est une base de E (dim E = C = ; ; : : : ; ) est une base de F (dim F = En n f 2 L F ) c-à-d que f est une application linéaire de E vers On appelle matrice de f relativement aux bases B et la matrice A = (aij où pour tout 1 j p : f (ej ) = n X i=1 Dé nition : i n 1 j p aij : On note A = M atr ) : B;C 2 Autrement dit, la j ieme colonne de A est le vecteur colonne associé à f (ej ) écrit dans la base d' arrivée C. [...]

[...] Isomorphisme entre et Mnp Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension nie, dim E = p et dim F = Soit B et C deux bases respectives de E et F L' application : L F ) ! Mnp est un isomorphisme de R f 7 ! M atr ) B;C Théorème: Ainsi dim L F ) = np = dim : dim ) En particulier, on M atr + = M atr ) + M atr B;C B;C B;C (c' la linéarité de est ) 3. Propriétés a. [...]