La dérivation - publié le 18/06/2010

Extraits

[...] Par exemple, considérons la fonction = x3. Alors f ' (x)=3x2 s'annule pour mais la fonction f n'admet pas d'extremum local en 0 Propriété : (condition suffisante d'extremum local) admise Si f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I ouvert (c'est à dire de la forme Si f' s'annule en x0 en changeant de signe, alors f admet en x0 un extremum local. [...]

[...] tend vers On note : x lim 0 x ) = De la même façon, déterminer x 2 + = = x+2 x+2 1ère ES et x x+2 x+1 x+2 lim x + 2 = 0 1/12 Chapitre 5 Exemple = DERIVATION Cours 1 x2 f est-elle définie en Représenter f sur la calculatrice pour x alors f est décroissante sur I. Si pour tout x f = alors f est constante sur I. De plus : Si pour tout x , f > ou ne s'annule qu'en un nombre fini de points, alors f est strictement croissante sur I. Si pour tout x , f [...]

[...] f est-elle définie en 0 ? Représenter f Lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de se rapproche t-il d'une valeur particulière? Bien que f soit définie en f n'a pas une valeur unique finie quand x tend vers 0 = 3 Lorsque x tend vers ne se rapproche pas d'une valeur particulière pour x tendant vers et 3 pour x tendant vers x2 x Exemple = x f est-elle définie en 0 ? Vrai ou faux? [...]

[...] minimum local) de f signifie que l'on peut trouver un intervalle ouvert J inclus dans I et contenant x0 tel que pour tout x de f(x0)). Un minimum local ou un maximum local est appelé un extremum local. Propriété : (condition nécessaire d'extremum local) admise Si f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I ouvert (c'est à dire de la forme Si f admet un extremum local en x0 avec x0 I , alors f'(x0) = 0 ; Attention ! La réciproque est fausse ! [...]

[...] Démonstration : Soit x0 I et h I tel que x0 + h I et h 0. Supposons que f est croissante sur I (les deux autres cas se justifient par la même méthode). On a alors y Si h > 0 f(x0 + > f(x0) f(x0 + - f(x0) > 0 f(x0 + - f(x0) h f(x0+h) f(x0) y Si h [...]