Les développements limités

Extraits

[...] On obtient facilement : Du développement classique on tire pour au voisinage de 0. Le numérateur de la fraction étudiée se simplifie alors sous la forme , expression équivalente en 0 à ou encore à puisque est équivalent à à l'origine. La fraction étudiée est donc équivalente en 0 au quotient de par x4, ce qui conduit à Ramenons nous à une étude à l'origine grâce au changement de variable On a alors or au voisinage de et On en déduit et par suite : 9. [...]

[...] On en déduit aussitôt : On termine suivant la technique classique du quotient en remplaçant dans le D.L usuel , la variable X par Après substitutions et éliminations des termes négligeables devant x4, le produit du numérateur de la fraction par l'inverse du dénominateur se simplifie en : Au voisinage de 0 : .On en déduit d'après la formule d'addition : avec Substituons alors cette valeur de X dans chacun des développements classiques et . On obtient aisément après simplifications le D.L 3 en 0 demandé : 8. Au voisinage de tan(x)= (x. On en déduit que tan4(x) (x4. [...]

[...] On pourra donc parler sous réserve que la décomposition soit possible, du développement limité à l'ordre n de f en x Le polynôme x sera appelé partie régulière de ce développement et le terme en sera le reste. A propos du degré et de la valuation de la partie régulière. _ Insistons sur le fait que l'on n'impose pas à P d'être de degré mais seulement de degré au plus n. Par exemple rien n'interdit d'avoir un développement limité dont la partie régulière serait identiquement nulle. [...]

[...] avec Après simplifications on obtient : dont on déduit immédiatement le développement Ainsi, au voisinage de 0 : . On sait qu'en 0 le sinus hyperbolique est équivalent à x car son nombre dérivé en ce point est ch(0)=1. Les parties régulières du dénominateur et du numérateur sont donc de valuation 2 ou au moins égale à ce qui entraînera une simplification par un facteur commun D'où la nécessité de pousser le développement des termes de la fraction jusqu'à l'ordre 5 pour compenser la chute des degrés dans les restes. [...]

[...] Elle admet donc en 0 des développements limités de tout ordre dont la partie entière est le polynôme nul. ( n ( N : o(xn) puisque . Remarquons également qu'à partir d'un développement limité à l'ordre n de partie régulière il est élémentaire d'obtenir le développement d'ordre k au même point d'étude. La partie régulière s'obtiendra en éliminant dans x0) les monômes en x0) de degré (k. En effet pour i on sait qu'au voisinage de x0 : (x-x0)i _ Si la partie régulière n'est pas identiquement nulle et si q est la valuation de celle-ci, on aura une décomposition du type x0)q+ .+an(x-x0)n+ On en déduit l'équivalence pratique, au voisinage de x0 : ( aq(x- x0)q Le terme aq(x-x0)q est souvent désigné sous le nom de ‘partie principale' du développement. [...]