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Publiez vos documents !Marche aléatoire sur les arbres de Galton-Watson: vitesse, dimension de la mesure harmonique
Résumé de l'exposé
On considère un processus de branchement dans le cas sur-critique avec la fonction génératrice f(s) = Sigma( pks^k,k=0..infini), i.e, chaque individu aura une probabilité pk d'avoir k enfants, et de plus m := f0(1) > 1. Commençant par un seul ancêtre, ce processus produit un arbre aléatoire infini T, appelé l'arbre de Galton-Watson, dans l'événement de non extinction. On s'intéresse aux propriétés asymptotiques de la marche aléatoire simple et aux structures de l'arbre T. Le but de ce travail est d'étudier la contribution de R.Lyons, R.Pemantle et Y.Peres à deux aspects du comportement asymptotique d'une marche aléatoire transiente [1]: la vitesse et la ?direction?. Dans la section 3, on étudiera la vitesse, et on obtiendra qu'elle est p.s. l := Sigma(pk (k ? 1)/(k + 1), k=1..infini) Une conséquence de ceci est la marche aléatoire est moins rapide sur un arbre de Galton-Watson non dégénéré (pk < 1 , quelque soit k) que sur un arbre régulier muni de la même croissance. La ?direction?, i.e, la mesure harmonique, sera étudiée dans la section 4. Le principal résultat de l'article de référence est que la dimension de Hausdorff de la mesure harmonique est strictement inférieure à celle du bord.
Sommaire de l'exposé
- Notations et d'efinitions
- La vitesse de la marche al'eatoire
- Exposant de H¨older et dimension
- Les chaines de Markov dans l'espace des arbres
- Mesure uniforme limite
- Chute de la dimension pour d'autres r`egles de flot
- La mesure harmonique stationnaire
Extraits de l'exposé
[...] Pour la preuve, voir e e 20 En observant notre resultat pr'c'dent, on obtient notre th'or`me princie e e e pal: Th'or`me 8.3 La dimension de la mesure harmonique est GW-p.s. inf'e e e rieure ` log m. L'exposant de H¨lder existe p.s. et est une constante. a o D'monstration. L'hypoth`se du th'r`me 7.1 est v'ri?'e dans le th'or`me e e ee e e e e 8.1 et la propostion Il r'sulte de ( 5.1 ) que l'exposant de H¨lder est une e o constante. [...]
[...] et est une constante, alors la o constante est la dimension de Hausdor? de µ. Exemple: On d'?nit la marche al'atoire simple sans revenir comme 'tant e e e la marche al'toire qui commence ` la racine et s'lectionne le sommet suivant e a e uniform'ment parmi les enfants du sommet pr'sent. La mesure harmonique e e correspondante sur est appel'e la mesure visuelle, not'e VIST , elle corree e spond au ?ot uniforme sur T . On suppose maintenant que T est un arbre de Galton-Watson qui commence par une particule et qui a Z1 enfant, alors VIST est aussi un ?ot sur l'arbre al'atoire T . [...]
[...] Ceci donne l'op'rateur usuel P sur l'espace des fonctions e e mesurables et born'es f : e f ? f et son adjoint P : f dP ? ? ? P f d?. Soit µ une mesure de probabilit' stationnaire, i.e., P µ = µ, et soit I la tribu e des ensembles invariants, i.e., des ensembles mesurables A tels que = 1A µ p.s. On dit qu'une fonction born'e mesurable f est harmonique si P f = f µe p.s. [...]
[...] On pose g(?, T ) log W ) pour un arbre de Galton-Watson T et ? . Alors Sg)(?, T ) = log W ) log W (?1 mW ) log m = log W (?1 1 = log log m. UNIFT (?1 ) En particulier, g Sg log ainsi le lemme implique que g Sg a une int'grale nulle. e Maintenant, pour UNIF W GW-p.p. T on H¨(UNIFT = EntUNIF GW) o par l'ergodicit'. Par la d'?nition et le calcul pr'c'dent, on obtient que e e e e EntUNIF = log 1 dUNIFT (?)W )dGW(T ) UNIFT (?1 ) Sg)dUNIFT (?)W )dGW(T ) = log m + = log m Chute de la dimension pour d'autres r`gles e de ?ot. [...]
[...] e Mesure uniforme limite x On a donc D'apr`s le th'or`me de Kesten-Stigum, si E[Z1 log Z1 ] < on peut e e e n prendre cn m et W peut ?tre remplac' par W dans ( 6.1 ) et ( 6.3 Un e e th'or`me de donne: e e W )dGW(T ) < E[Z1 log Z1 ] < ( 6.4 ) On montre ensuite qu'une mesure UNIF-stationnaire('ventuellement ine ?nie) sur les arbres est W )dGW(T Ceci est aussi observ' par p.378. e 15 Proposition 6.1 La chaine de Markov de probabilit' de transition PUNIF et e de loi initiale W GW est stationnaire et ergodique. [...]
À propos de l'auteur
Xiaoqiang W.Etudiant- Niveau
- Expert
- Etude suivie
- mathématiques
- Ecole, université
- Université...
Descriptif de l'exposé
- Date de publication
- 2007-03-20
- Date de mise à jour
- 2007-03-20
- Langue
- français
- Format
- pdf
- Type
- dissertation
- Nombre de pages
- 25 pages
- Niveau
- expert
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- Validé par
- le comité de lecture
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