Marche aléatoire sur les arbres de Galton-Watson: vitesse, dimension de la mesure harmonique

Extraits de l'exposé

[...] Pour la preuve, voir e e 20 En observant notre resultat pr'c'dent, on obtient notre th'or`me princie e e e pal: Th'or`me 8.3 La dimension de la mesure harmonique est GW-p.s. inf'e e e rieure ` log m. L'exposant de H¨lder existe p.s. et est une constante. a o D'monstration. L'hypoth`se du th'r`me 7.1 est v'ri?'e dans le th'or`me e e ee e e e e 8.1 et la propostion Il r'sulte de ( 5.1 ) que l'exposant de H¨lder est une e o constante. [...]

[...] et est une constante, alors la o constante est la dimension de Hausdor? de µ. Exemple: On d'?nit la marche al'atoire simple sans revenir comme 'tant e e e la marche al'toire qui commence ` la racine et s'lectionne le sommet suivant e a e uniform'ment parmi les enfants du sommet pr'sent. La mesure harmonique e e correspondante sur est appel'e la mesure visuelle, not'e VIST , elle corree e spond au ?ot uniforme sur T . On suppose maintenant que T est un arbre de Galton-Watson qui commence par une particule et qui a Z1 enfant, alors VIST est aussi un ?ot sur l'arbre al'atoire T . [...]

[...] Ceci donne l'op'rateur usuel P sur l'espace des fonctions e e mesurables et born'es f : e f ? f et son adjoint P : f dP ? ? ? P f d?. Soit µ une mesure de probabilit' stationnaire, i.e., P µ = µ, et soit I la tribu e des ensembles invariants, i.e., des ensembles mesurables A tels que = 1A µ p.s. On dit qu'une fonction born'e mesurable f est harmonique si P f = f µe p.s. [...]

[...] On pose g(?, T ) log W ) pour un arbre de Galton-Watson T et ? . Alors Sg)(?, T ) = log W ) log W (?1 mW ) log m = log W (?1 1 = log log m. UNIFT (?1 ) En particulier, g Sg log ainsi le lemme implique que g Sg a une int'grale nulle. e Maintenant, pour UNIF W GW-p.p. T on H¨(UNIFT = EntUNIF GW) o par l'ergodicit'. Par la d'?nition et le calcul pr'c'dent, on obtient que e e e e EntUNIF = log 1 dUNIFT (?)W )dGW(T ) UNIFT (?1 ) Sg)dUNIFT (?)W )dGW(T ) = log m + = log m Chute de la dimension pour d'autres r`gles e de ?ot. [...]

[...] e Mesure uniforme limite x On a donc D'apr`s le th'or`me de Kesten-Stigum, si E[Z1 log Z1 ] < on peut e e e n prendre cn m et W peut ?tre remplac' par W dans ( 6.1 ) et ( 6.3 Un e e th'or`me de donne: e e W )dGW(T ) < E[Z1 log Z1 ] < ( 6.4 ) On montre ensuite qu'une mesure UNIF-stationnaire('ventuellement ine ?nie) sur les arbres est W )dGW(T Ceci est aussi observ' par p.378. e 15 Proposition 6.1 La chaine de Markov de probabilit' de transition PUNIF et e de loi initiale W GW est stationnaire et ergodique. [...]