Exercices sur les suites numériques

Extraits du TD

[...] Remarquons d'abord que : avec : . C'est-à-dire en revenant à la définition : tel que : Et donc, pour n on a : Par suite : . En sommant : De plus : et : on déduit alors que : , c'est-à-dire que : et par suite : . Par continuité de la fonction exponentielle, on déduit que : . Exercice En utilisant la concavité de la fonction ln, on a l'encadrement suivant : les inégalités étant strictes pour x>0. [...]

[...] Comme : alors : , ce qui entraine : ( ) = Soit , il existe un entier naturel non nul tel que : ( Donc : < .Et comme : , il vient Donc : L'entier étant fixé et ne dépend pas de n , la suite ( ) converge vers 0. Donc il existe entier naturel non nul tel que : . Prenons et puisque : , Alors : ce qui prouve que la suite ( ) est convergente et converge vers 0. Exercice Posons ( ) . Remarquons que . On a donc : . Et comme : , on a par encadrement : . 2. [...]

[...] Exercice 3 : 1. Déterminer ( ) Donner un équivalent au voisinage de l'infini de S = Déterminer la limite au voisinage de l'infini de la suite définie par : u = Exercice 4 : Etudier la suite u et préciser un équivalent de u si : u > 0 et : u = ln(1+u n IN . Exercice 5 : Soit ) la suite définie par : u et n IN , u = u - u . Montrer que : 1. [...]