Mécanique statistique - notions de base

KÃ©vin E.

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Mécanique statistique - notions de base

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Ce cours de niveau Master s'attachera à présenter les notions de base de la mécanique statistique pour des systèmes à particules sans interaction. Y seront décrits les trois grands ensembles statistiques (microcanonique, canonique et grandcanonique) ainsi que les diverses notions qui en découlent (densité d'états d'une particule, fonction de partition, grand potentiel, statistiques de Fermi-Dirac et de Bose- Einstein, etc.). Ces principes seront illustrés à travers des exemples pratiques, comme le gaz parfait classique.

L'objectif de la mécanique statistique est la détermination des quantités macroscopiques d'un système physique (pression d'un gaz, aimentation d'un système magnétique, rayon de giration d'un polymère en solution, etc.) à partir d'une description microscopique de ses constituants. Le nombre de particules étant de l'ordre du nombre d'Avogadro (NA = 6,02.1023), il est impossible de tenir compte du détail de leurs configurations, et cela n'aurait d'ailleurs aucun intérêt.

Les équations découlant d'une théorie microscopique complète étant en général impossibles à résoudre, on doit simplifier le problème, c'est-à-dire qu'on ne retient que les variables pertinentes. En fonction des paramètres comme la température et la densité, on choisit un modèle adapté. Par exemple :
À la température ambiante (T ∼ 300 K), les atomes d'un gaz d'hélium sont dans l'état électro- nique fondamental et pratiquement sans interaction. On peut les considérer comme des particules ponctuelles classiques avec les degrés de liberté, et on obtient un gaz parfait.
Par contre, à haute température (T ∼ 6000 K), les atomes sont ionisés, si bien que noyaux et électrons sont soumis à l'interaction électrostatique et forment un plasma. Enfin, à très basse température (T ∼ 4 K), il s'avère essentiel de tenir compte du spin s et de distinguer 4He (s = 0) et 3He (s = 1/2), leurs propriétés étant très différentes. En négligeant les interactions, on obtient des gaz quantiques.

Sommaire

Notions préliminaires
1. Probabilités, valeur moyenne et fluctuations
2. Entropie statistique
3. Variables et ensembles statistiques
L'ensemble microcanonique - système isolé
1. Postulat fondamental de la mécanique statistique
2. Quantités thermodynamiques
3. Exemple : le gaz parfait classique
4. L'indiscernabilité des particules identiques
5. Thermodynamique du gaz parfait
6. Densité d'états d'une particule libre
L'ensemble canonique
1. Fonction de partition
2. L'énergie libre
3. Particules sans interactions
4. L'ensemble canonique dans l'espace des phases
5. Exemple : L'oscillateur harmonique en une dimension
6. Fonction génératrice
Application : le gaz parfait
1. La densité d'états d'une particule libre en 3D
2. L'approximation de Maxwell-Boltzmann
3. Validité de l'approximation de Maxwell-Boltzmann
4. Thermodynamique du gaz parfait
L'ensemble grandcanonique
1. La distribution de probabilité grandcanonique
2. Le grandpotentiel et quantités thermodynamiques
3. La distribution de probabilité du nombre de particules
4. Exemple : le gaz parfait classique
5. Système de particules indépendantes indiscernables
6. Statistique de Fermi-Dirac
7. Statistique de Bose-Einstein
8. Limite classique des distributions quantiques
Les gaz parfaits quantiques
1. Gaz de Fermi non relativiste : les électrons dans un métal
2. Le gaz de Bose - condensation de Bose

Extraits

[...] La somme discrète devient alors une intégrale. Ecrivons cette limite d'abord pour le cas D = 1 avec une seule composante kx , lim fkx eikx x = lim kx fkx eikx x = lim kx L 2π dkx fkx eikx x . Pour D quelconque, on a un facteur pour chaque dimension, donc dans le cas D = f = lim L2 (2π)2 dkx dky fk eik·r . En comparant avec l'intégrale de Fourier inverse, on déduit directement f = lim L2 fkx Avec la déﬁnition que nous avons adoptée en la transformée f n'est donc pas donnée par l'expression des coeﬃcients de la série. [...]

[...] Or, à une certaine température TB = 1 kB N V A 32 la fugacité atteint sa valeur maximale ϕ = c'est-à-dire que le potentiel chimique tend vers zéro, µ 0. Dans ce cas, on peut intégrer x π 3 dx x = , = ζ e où la fonction ζ prend la valeur ζ Avec le coeﬃcient on a n kB 2m 2π(2s + 2/3 TB = . Pour des températures en-dessous de TB , il n'est plus possible de vériﬁer la relation entre N et I(ϕ). L'origine de cette contradiction apparente doit être recherchée dans le passage de la densité d'états discrète à l'approximation continue. [...]

[...] En sciences physiques, on choisit plutôt la convention = P ln P avec kB = 1.38 10−23 J.K−1 la constante de Boltzmann, pour la faire coïncider avec la déﬁnition historique en thermodynamique. L'entropie mesure le manque d'information que l'on a sur le système. Quelques propriétés de celle-ci : 1. Positivité. L'entropie est positive ou nulle. Par déﬁnition des probabilités, on sait que quel que soit l'état P donc ln P 0. On en déduit que S Minimum. [...]

[...] Par conséquent, tous les vecteurs k sont permis. La transformée de Fourier f est donc une fonction des variables continues kx et ky . Elle est donnée par l'intégrale f = dxdy f . Pour retrouver l'originale f à partir de la fonction image f on applique la transformation inverse, f = 1 (2π)2 dkx dky f eik·r . Ces expressions se généralisent sans problème dans un espace de dimension f = dD r f , f = 1 (2π)D dD k f eik·r . [...]

[...] Ce résultat nous servira pour la suite. Calculons l'entropie pour cette distribution de probabilités, et développons-la à l'ordre 2 en δP : Ω Ω S = P ln P = Ω 1 + δP Ω 1 + δP Ω 1 Ω ln ln 1 + ΩδP ) Ω 1 + ln(1 + ΩδP ) Ω Ω = = kB ln Ω kB ln δP = + δP Ω 1 ΩδP Ω2 δP Ω = kB ln Ω kB = ΩδP 2 ΩδP Ω 1 = kB ln Ω kB Ω Dans ce cas, on a B ξλ = e−β(ελ (ελ > µ). [...]

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