La géométrie analytique

Extraits

[...] La section de la sphère par P est dans ce cas le cercle de ce plan de centre H et de rayon . Intersection de deux sphères. Considérons deux sphères S et S' de E définies par les équations cartésiennes respectives : Les points communs à S et S' sont ceux dont les coordonnées sont solutions du système formé par les deux équations précédentes. Or on obtient un système équivalent en gardant la première et en soustrayant celle ci à la deuxième. [...]

[...] Le triplet (u'-u, v'-v, w'-w) est alors non identiquement nul. La deuxième équation s'interprète alors comme celle d'un plan P et on est ramené au cas précédent de l'étude de la section de S par P. _ Si les sphères sont concentriques. La deuxième équation ne sera jamais vérifiée si ( (('. Il s'agît du cas où les rayons diffèrent et on aura bien sûr alors S (S'= ( Par contre si les rayons sont identiques, le système se résume à l'équation de S. Ainsi S=S' et S'(S=S. [...]

[...] Autrement dit les points de C sont dans la bande du plan P délimités par les droites D1 et D2 parallèles à D et situées à la distance 3 de celle ci, d'équations respectives : dans le repère ; , _ Etudions les points M de C situés dans la bande délimitée par D et D1. (Ceci pouvant se traduire analytiquement : Si on note H1 la projection orthogonale de M sur D1, il est clair que MH=H1H-MH représente en fait la distance MH1 puisque M appartient au segment d'extrémités H et H1. La relation de définition s'écrit alors dans ce cas : MF=2MH1. Sous cette forme on reconnaît l'équation d'une hyperbole H1 de foyer de directrice D1 et d'excentricité 2. [...]

[...] Le seul problème est pour mais l'équation donne alors dont on tire les valeurs x=1 et y=2. On obtient encore un point du cône : son sommet S Les points de l'ellipse E peuvent être paramétrés par , avec Les points M de la surface cylindrique S appartenant à la génératrice passant par le point P précédent et dirigée par + sont repérés par : , avec t décrivant R. On en déduit la représentation de S : De on déduit alors : Réciproquement, tout point satisfaisant à cette équation est bien un point de S obtenu pour t=z et ( défini par les formules ci dessus exprimant le couple La distance de à la droite passant par O et dirigée par = + + est obtenue par : La distance de ce même point au plan P(O ; , d'équation z=0 est : MK= . [...]

[...] On parlera donc pour les coniques à centre, non pas d'un mais de deux foyers F et F', symétriques par rapport au centre O de la conique et des directrices associées respectives D et D' homologues dans cette même symétrie. Il importe de savoir retrouver la position de ces éléments géométriques fondamentaux à partir de l'équation réduite. Cela revient à positionner F et K à partir des sommets B. Pour cela écrivons vu la définition barycentrique des sommets : et On en déduit aussitôt par addition et soustraction respectives : Notons alors c la distance commune des deux foyers au centre : c=OF=OF'. [...]