La résolution de l'équation de Poisson

Extraits de l'exposé

[...] The system which has to be solved is Au = b. From then, we have to use some methods. But these methods when they are applied by the human took a very long time. That' s why, we must use a computer to solve this kind of linear system. We could use Matlab for example, to solve it. [...]

[...] C'est pour cela, qu' avant de commencer la résolution un système linéaire, le problème du coût des calculs ou de la complexité un algorithme impose. L'unité de mesure de la puissance d'un calculateur est donné en Megaflops (Mflops) où 1 Mflops= opérations en virgule flottante par seconde. Cette mesure n'est qu'indicative car la vitesse de calcul peut varier en fonction de l'algorithme utilisé et de la taille du problème traité. Les plus gros calculateurs au monde ont des puissances supérieures à 106 Mflops= 1 Teraflops. [...]

[...] On considère le système Au = b. A appartient à ensemble des matrices carrées et b une matrice colonne à n éléments. La méthode de résolution par algorithme de Gauss est la suivante : il faut trouver toutes les matrices ( à , G ) pour k appartenant à intervalle : à pour k = 1 est la composition des matrices de base A et b : à = [ a 1,1 a 2,1 a 3,1 a 4,1 an a 1,2 a 2,2 a 3,2 a 4,2 an a n a n a n a 4,n an b1 b2 b3 b4 bn ] pour k appartenant à intervalle la méthode est la suivante : à = G à 13 Pour calculer G Il faut tout abord le pivot de Gauss à partir de la matrice A , il correspond au coefficient de la matrice A placé en a A partir de ce pivot, on détermine les éléments de la matrice avec la formule : g i , aij , Lorsque on arrive à la matrice à (composition de la matrice A et b on traduit la matrice sous la forme un système linéaire A X = b que on peut facilement résoudre à partir des opérations élémentaires, mais pas toujours très rapidement si notamment la matrice est grande. [...]

[...] Résolution des systèmes linéaires. Introduction Après discrétisation de équation de Poisson, nous arrivons à un problème de résolution de système linéaire représentée par équation Au=b. La forme générale un système linéaire est : { u1 u2 un a 1,1 U 1,2 U nUn= b = . = . = . an U U , nUn= bn A étant une matrice carrée ayant les propriétés citées précédemment. U est la matrice inconnue. La résolution extrêmement minutieuse, et demandant un nombre opérations élémentaires considérables, par les formules de Cramer, nécéssite appliquer, selon le système linéaire, une des méthodes comprises dans les deux grandes catégories de méthodes que sont : les méthodes directes et les méthodes de relaxation. [...]

[...] élimination de Gauss n'est possible que si le pivot choisi est différent de zéro Résolution par algorithme de Cholesky. Cet algorithme est applicable que si A est symétrique définie positive. On doit donc vérifier, avant appliquer cet algorithme que A est symétrique définie positive. Théorème : une matrice A est symétrique définie positive si et seulement si il existe une matrice L triangulaire inférieure telle que : A = L tL. Conséquence du théorème : il faut que la forme quadratique associée à A soit strictement positive c'est-à-dire tXAX > 0 Une fois que on a démontré que la matrice A est symétrique définie positive, il faut trouver la matrice triangulaire inférieure dont les coefficients vérifient : 15 k-1 lk,k = ak,k - j=1 On vérifie bien que LtL = A On résoud ensuite le système : Ly= {tLx= yb Exemple : soit le système linéaire Ax = b Vérifions que = tXAX > 0 [ ] 8 b = X 1 X 2 2X 3 = X2, X3) X 1 5 X 2 2 X 3 2X 2 X 2 4X 3 [ ] = 4 x + x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 + x 2 x 1 + 5 x + 2 x 2 x 3 + 2 x 1 x 3 + 2 x 2 x3 + 4 x = 4 x + 5 x + 4 x + 2 x 1 x 2 + 4 x 1 x 3 + 4 x 2 x 3 forme quadratique associée à A. [...]